Teorie:
Harmonický pohyb
Kmitavý pohyb, jehož časový diagram má podobu sinusoidy, popř. kosinusoidy, nazýváme jednoduchý kmitavý pohyb nebo harmonický pohyb.
Harmonický pohyb dostaneme jako projekci rovnoměrného kruhového pohybu kolem počátku do jedné z kartézských os. Např. v ose y pak máme
kde y je okamžitá výchylka kmitajícího bodu, A je amplituda – největší výchylka hmotného bodu z rovnovážné polohy, ωt+φ0 je fáze kmitání, φ0 je počáteční fáze, tj. fáze kmitání při t = 0.
Veličinu ω, která má u pohybu rovnoměrného po kružnici význam úhlové rychlosti, nazýváme u kmitavých dějů úhlová frekvence. Platí pro ni
kde T je perioda a f je frekvence.
Jednotka úhlové frekvence [ω] = s-1.
Hmotný bod vykoná při rovnoměrném pohybu po kružnici jeden oběh za dobu T. Kmitající bod vykoná za tuto dobu jeden kmit a veličinu T nazýváme doba kmitu neboli perioda
Počet kmitů, které vykoná kmitající bod za jednu sekundu, je frekvence neboli kmitočet
Jednotkou frekvence je hertz (Hz).
Souřadnice vektorů rychlosti a zrychlení při harmonickém pohybu jsou
Zrychlení harmonického kmitavého pohybu je přímo úměrné okamžité výchylce a v každém okamžiku má opačný směr.
Dynamika kmitavého pohybu
Mechanickým oscilátorem nazýváme zařízení, které kmitá bez vnějšího působení, např. závaží zavěšené na pružině.
Jestliže na pružinu zavěsíme těleso, pružina se prodlouží a vzniklý mechanický oscilátor zaujme rovnovážnou polohu. V této poloze na těleso působí dvě stejně velké síly opačného směru: tíhová síla
Příčinou harmonického kmitání mechanického oscilátoru je síla, která je přímo úměrná výchylce oscilátoru z rovnovážné polohy a která stále směřuje do rovnovážné polohy,
Tuhost pružiny je definována vztahem
Tuhost pružiny je tím větší, čím větší sílu potřebujeme k jejímu prodloužení o stejnou délku. Jednotka tuhosti je newton na metr (N·m-1) .
Úhlová frekvence volně kmitajícího mechanického oscilátoru závisí jen na jeho parametrech, tj. na hmotnosti m tělesa a tuhosti k pružiny.
Takové kmitání nazýváme vlastní kmitání oscilátoru a jeho vlastní úhlovou frekvenci značíme ω0:
Perioda T0 a frekvence f0 vlastního kmitání:
Při harmonickém kmitavém pohybu tělesa zavěšeného na pružině se mění jeho potenciální energie pružnosti v energii kinetickou a naopak. Pokud na oscilátor nepůsobí vnější síly, je mechanická energie kmitání konstantní. Oscilátor kmitá s konstantní amplitudou. Pokud oscilátor prochází rovnovážnou polohou, má největší rychlost, a tedy největší kinetickou energii. V největší vzdálenosti od rovnovážné polohy, kdy je rychlost nulová, má největší potenciální energii pružnosti.
Celková energie kmitání mechanického oscilátoru je
Po úpravách dostáváme
kde A je amplituda – maximální výchylka závaží z rovnovážné polohy, vmax je maximální rychlost závaží – rychlost v rovnovážné poloze.
Celková energie kmitání mechanického oscilátoru je konstantní a je přímo úměrná druhé mocnině amplitudy výchylky, popř. druhé mocnině amplitudy rychlosti vlastního kmitání.
Kmitání, při kterém nepůsobí na oscilátor vnější síly, tedy se nemění amplituda kmitání a oscilátor kmitá neomezeně dlouho, nazýváme netlumené kmitání.
U skutečného oscilátoru se část energie kmitání mění v jiné formy energie (např. na vnitřní energii okolního prostředí) a amplituda kmitání se zmenšuje; volné kmitání postupně zanikne. Takové kmitání oscilátoru nazýváme tlumené kmitání.
Jak použít aplet?
Aplet aktivujete kliknutím levého tlačítka myši do okna apletu.
Na stole je pružina a k ní je připevněn provázek vedoucí přes kladku. (tření lze zanedbat)
Jak připevnit závaží k pružině:
1. Najeďte myší na závaží.
2. Závaží nad kurzorem myši zčerná.
3. Klikněte na tlačítko myši pro připojení těchto závaží k pružině.
4. Hmotnost připevněných závaží se zobrazí blízko druhé pružiny (napravo).
Pružina se ustálí v rovnovážné poloze.
Jak odpojit závaží od pružiny:
1. Najeďte myší na zavěšená závaží.
2. Závaží pod kurzorem myši zčernají.
3. Klikněte na levé tlačítko myši pro oddělení označených závaží.
4. Pružina se ustálí v nové rovnovážné poloze.
Jak spustit animaci?
1. Najed´te myší na zavěšená závaží.
2. Klikněte pravým tlačítkem myši. Držte tlačítko a snažte se natáhnout nebo stlačit pružinu se závažím na ní zavěšeným a pak ji uvolnit, pružina bude oscilovat pohybem podobným harmonickému pohybu.
Klikněte na tlačítko myši pro přerušení animace, klikněte znovu pro pokračování.
Klikněte na tlačítko Zastavit, aby se pružina dostala do rovnovážné polohy.
Klikněte na tlačítko Obnovit pro opětovné nastavení výchozích hodnot. Toto tlačítko také vyčistí obrazovku.
Při připevnění závaží na pružinu dojde k jenímu protažení, což je znázorněno x-ovou složkou barevné tečky, která se objeví v grafu.
Když harmonický oscilátor uvedeme do pohybu, můžeme sledovat kmitání.
Vychýlení hmotného bodu z rovnovážné polohy je reprezentováno úsečkou v Fx-grafu.
V Fx-grafu je kvalitativně znázorněna závislost síly F působící na harmonický oscilátor na výchylce x. Pro správnou interpretaci grafu je nutno umístit počátek soustavy souřadnic do zeleného bodu.
Ve vx-grafu je znázorněna závislost okamžité rychlosti v na okamžité výchylce x závaží z rovnovážné polohy.
Závislost má obecně tvar elipsy
Tuto rovnici získáme vhodnou úpravou rovnic pro okamžitou výchylku a okamžitou rychlost hmotného bodu při harmonickém pohybu.
V grafu se načítá doba kmitání pružiny.
Vedle kmitajícího závaží je uvedena jeho okamžitá výchylka.
U pružiny, která je umístěna horizontálně, je uváděna změna protažení pružiny z počáteční rovnovážné polohy, kdy na pružině nebylo zavěšeno závaží.
Cvičení:
1. Jak zjistíme tuhost pružiny?
Tuhost pružiny určíme ze závislosti velikosti síly na okamžité výchylce ze vztahu F = kx, kde k = tg α, kde α je úhel, který svírá úsečka v Fx-grafu s osou x.
2. Jak změříme periodu kmitání?
Počet oběhů červeného bodu po elipse děleno časovým úsekem, který se vypisuje v levé horní části okna.
Odkazy:
http://www.sweb.cz/radek.jandora/f10.htm
- kmitavý pohyb, dynamika kmitavého pohybu, přeměny energie v mechanickém oscilátoru
http://cs.wikipedia.org/wiki/Harmonick%C3%BD_d%C4%9Bj
- kmitavý pohyb, dynamika kmitavého pohybu, přeměny energie v mechanickém oscilátoru
Odkazy na jiné aplety:
http://fyzweb.cuni.cz/dilna/aplety/Harmonicky_pohyb/index.html
- aplet na téma harmonický pohyb a rovnoměrný pohyb po kružnici
http://www.walter-fendt.de/ph14cz/springpendulum_cz.htm
- aplet na téma pružinový oscilátor