Pohyb ping-pongového míčku

---

Mechanika – Mechanika tuhého tělesa – Kinetická energie tuhého tělesa

Teorie:

Zkusili jste někdy svým prstem stlačit ping-pongový míček položený na pevné podložce tak, abyste ho uvedli do pohybu? Jestliže ho stlačíte dostatečně pevně, zjistíte, že míček utíká pryč směrem od vás. Nicméně, o pár sekund později, se míček začne kutálet zpátky k vám. Víte proč?

Míček se začíná pohybovat s počáteční rychlostí v₀ a počáteční úhlovou rychlostí ω₀.
Velikost třecí síly mezi ping-pongovým míčkem a podložkou je vyjádřena vztahem

,

kde f je součinitel smykového tření mezi podložkou a míčkem, m je hmotnost míčku a g je tíhové zrychlení.

Pokud úhlová rychlost rotujícího tělesa není konstantní, má těleso nenulové úhlové zrychlení.
Velikost úhlového zrychlení můžeme vyjádřit:

,

přičemž tento vztah platí nejen pro rotující tuhé těleso jako celek, ale i pro každou jeho částici.
Jednotkou úhlového zrychlení je rad·s^-2.

Zrychlení každé částice rotujícího tělesa je součtem svých dvou průmětů, tečného zrychlení a normálového zrychlení .
Normálová složka zrychlení je u rotujícího tělesa vždy nenulová, směřuje do středu rotujícího tělesa, vystihuje změnu směru vektoru rychlosti.
Tečné zrychlení má směr vektoru rychlosti, souvisí se změnou velikosti rychlosti a je nenulové, pokud je otáčivý pohyb tělesa nerovnoměrný, tj. jeho úhlové zrychlení je nenulové. Platí

,

kde r je poloměr rotujícího tělesa.
Rychlost těžiště ping-pongového míčku bude klesat podle vztahu v = v₀ - a_tt, kde a_t je tečné zrychlení.

Pro otáčivý pohyb s konstantním úhlovým zrychlením platí

. (1)

Třecí síla vyvolá moment síly, velikost momentu síly je rovna součinu velikosti třecí síly F_t a kolmé vzdálenosti vektorové přímky síly od osy otáčení

, (2)

kde r je poloměr míčku.

Moment síly můžeme také vyjádřit

, (3)

kde J je moment setrvačnosti míčku a M je výsledný moment vnějších sil působících na těleso, vztažené k ose rotace.
Tento vztah představuje pohybovou rovnici pro otáčivý pohyb tuhého tělesa kolem pevné osy a nazýváme ho věta o momentu hybnosti nebo také druhá impulzová věta.

Moment síly mění úhlovou rychlost míčku, která klesá podle vztahu

,

kde J je moment setrvačnosti míčku vzhledem k ose otáčení.
Tento vztah získáme, pokud do vztahu (1) za úhlové zrychlení ε dosadíme ze vtahů (2) a (3).

Pokud při pohybu míčku po podložce nedochází ke smýkání a kluzu, pohyb přejde ve valení bez prokluzování.
Pokud v < 0, potom se míček valí zpátky směrem k nám.
Je možné nastavit počáteční podmínky tak, aby se míček zastavil?
Nebo se míček pohybuje kupředu (v > 0).



---

---


Jak aplet použít:

Aplet aktivujete kliknutím levého tlačítka myši do okna apletu.

Počáteční rychlost míčku je předem nastavena v₀ = 200 cm·s^-1.
Můžete měnit počáteční úhlovou rychlost ω₀ tak, že zvolíte hodnotu v rámečku rω:
         rω₀ < 0 : Pohyb míčku v protisměru otáčení hodinových ručiček.
         rω₀ > 0 : Pohyb míčku po směru otáčení hodinových ručiček.
Můžete také změnit součinitel smykového tření, a to volbou hodnoty v rámečku mf.

Můžete sledovat pohyb plné nebo duté kuličky.
Moment setrvačnosti homogenní plné koule, která se otáčí kolem osy vedené jejím středem, je

,

kde m je hmotnost koule a r je její poloměr.

Moment setrvačnosti kulové slupky, která se otáčí kolem osy vedené jejím středem je

,

kde m je hmotnost kulové slupky a r je její poloměr.

Pro spuštění animace stlačte tlačítko Spustit.
Pro vyčištění obrazovky stlačte tlačítko Vyčistit.
Tlačítko Obnovit vrátí animaci na začátek a po zadání nových vstupních hodnot můžeme sledovat více závislostí.
Animace se zastaví, když se míček dostane mimo obrazovku.

Pokud chcete přerušit animaci, klikněte na levé tlačítko myši.
Jestliže chcete, aby animace pokračovala, tlačítko uvolněte.
Když kliknete na pravé tlačítko myši, budete potřebovat kliknout znovu pro pokračování.

Kliknutím na pravé tlačítko myši a pak opětovným klikáním na levé tlačítko myši uvidíte jednotlivé kroky animace.

Modrá orientovaná úsečka v animaci znázorňuje třecí sílu.
Červená orientovaná úsečka reprezentuje vektor rychlosti translačního pohybu.

Při pohybu míčku se vykresluje časová závislost veličin uvedených v Tabulce1:

Tabulka 1  

červená	Rychlost těžiště míčku
zelená	Úhlová rychlost * poloměr (ωr)
žlutá	Valení bez prokluzování


V grafu se vypisuje doba běhu animace, hodnota okamžité rychlosti těžiště míčku a hodnota okamžité rychlosti bodů na obvodu kola vzhledem k těžišti míčku. Pokud se po skončení animace nebo během jejího přerušení pohybujete s myší v grafu, můžete sledovat hodnoty rychlostí v daném čase. Pokud se s myší pohybujete v horní části okna mimo graf, můžete sledovat dráhu, kterou míček v daném místě urazil.

Volbou vstupních parametrů mohou nastat 3 následující situace:
1. Směr valení bez prokluzování je totožný se směrem, kterým byl míček vržen.
2. Směr valení bez prokluzování je opačný ke směru vrhu míčku.
3. Valení bez prokluzování nenastane.

Pokuste se v animaci zadat vstupní hodnoty tak, aby nedošlo k valení bez prokluzování.



---


Odkazy:

http://www.sweb.cz/radek.jandora/f04.htm
- mechanika tuhého tělesa, moment síly, moment setrvačnosti

http://www.sweb.cz/radek.jandora/f01.htm
- kinematika hmotného bodu a pohyb po kružnici

http://kdf.mff.cuni.cz/veletrh/sbornik/Veletrh_09/09_14_Dvorak.html
- využití ping-pongových míčků ve fyzice

Odkaz na jiný aplet:

http://fyzweb.cuni.cz/dilna/aplety/FreeRolling/index.html
- aplet na téma rovnoměrný pohyb po kružnici a valení bez prokluzování