Pohyb těles v centrálním gravitačním poli Země
Mechanika ⇒ Gravitační pole ⇒ Pohyb těles v centrálním gravitačním poli Země
Teorie:
Isaac Newton zpozoroval, že každá střela vypuštěná horizontálně je v jistém smyslu oběžnicí Země. Těleso vržené vodorovně z vysoké
budovy se pohybuje po trajektorii, která se protne se Zemí nedaleko bodu jeho vypuštění. Kdyby bylo těleso hozeno rychleji,
dopadlo by dále. Další zvětšování rychlosti by vedlo vždy k větší a oblejší trajektorii a vzdálenějšímu bodu dopadu.
Při určité počáteční rychlosti vo nastává případ, že těleso opisuje kružnici se středem ve středu Země. Tuto rychlost pak nazýváme
kruhová rychlost. Pohybuje-li se těleso
o hmostnosti m kolem Země o hmostnosti MZ a poloměru RZ
po kružnici o poloměru RZ + h, kde h je výška tělesa nad povrchem Země, působí na něho Země gravitační silou o velikosti
Fg = }^{2}})
,
http://jpsi.ma.psu.edu/...
kde κ je gravitační konstanta. Gravitační síla směřuje do středu Země.
Z učiva o pohybu hmotného bodu po kružnici víme, že stálé zakřivení trajektorie tělesa způsobuje dostředivá síla, pro jejíž velikost platí
Fd = })
.
Jelikož se těleso pohybuje s gravitačním poli, je touto dotředivou silou síla gravitační. Z rovnosti gravitační a dostředivé síly dostaneme pro velikost kruhové rychlosti vztah
vk = 
.
Uvažujeme-li pohyb tělesa v blízkosti povrchu Země, kde h je zanedbatelné vůči poloměru Země, je velikost kruhové rychlosti
vk = 
.
Dosadíme-li za κ = 6,67⋅10-11 N⋅m2⋅kg-2, MZ = 5,98⋅1024 kg a RZ = 6,38⋅106 m,
je přibližně vk = 7,9 km⋅s-1. Tato hodnota kruhové rychlosti se nazývá první kosmická rychlost.
Je-li tělesu udělena počáteční rychlost o málo větší než je kruhová rychlost, pohybuje se těleso po elipse.
Velikost počáteční rychlosti ovlivňuje tvar eliptické trajektorie. Při počáteční rychlosti o velikosti
vp = vk
se změní uzavřená eliptická trajektorie na parabolu a těleso se trvale vzdaluje od Země.
Tato rychlost se nazývá parabolická nebo také úniková rychlost.
V blízkosti povrchu Země, kde výška h je zanedbatelná vůči zemskému poloměru,
je její velikost vp = 11,2 km⋅s-1.
Tato hodnota parabolické rychlosti se nazývá druhá kosmická rychlost.
Ovládání apletu:
V tomto apletu můžete měnit velikost počáteční rychlosti vrhu a pozorovat tak různé tvary trajektorie.
Změna velikosti počáteční rychlosti - stiskněte tlačítko + pro zvětšení rychlosti,
stiskněte tlačítko - pro zmenšení rychlosti.
Spuštění animace - stiskněte tlačítko Start pro vypuštění tělesa.
Po spuštění animace se v levém horním rohu okna s apletem zobrazí modrá a červená velikost rychlosti.
Modrá velikost rychlosti je hodnota počáteční rychlosti, kterou jste nastavili.
Červená je velikost okamžité rychlosti. Její hodnota se zmenšuje směrem do tzv. apogea, což je bod, v němž má těleso od středu Země největší vzdálenost.
Směrem k perigeu, což je bod, v němž je vzdálenost tělesa od středu Země nejmenší, se velikost okamžité rychlosti zvětšuje.
Toto můžete pozorovat, zaškrtnete-li políčko Plná trajektorie.
Nastavení parametrů na původní hodnoty - stiskněte tlačítko Obnovit pro nastavení parametrů na původní hodnoty.
Červená orientovaná úsečka reprezentuje vektor rychlosti.
Změna velikosti a směru vektoru rychlosti - klikněte levým tlačítkem myši v blízkosti šipky červené orientované úsečky a posouváním
myši měňte rychlost.
Pozastavení animace - klikněte pravým tlačítkem myši pro zastavení animace, opětovným stlačením ji spustíte,
- stlačením levého tlačítka se animace pozastaví, uvolněním tlačítka se opět spustí.
Čas se zobrazuje v sekundách. Je to čas, za který by těleso Zemi obletělo nebo na ni dopadlo.
(Při dopadu tělesa na Zemi se tlačítko Zpět změní na tlačítko Back.)
Odkazy:
Odkaz na teorii gravitačního pole:
http://www.sweb.cz/radek.jandora/f12.htm
Odkaz na stránku, kde si můžete zdarma stáhnout multimediální prezentaci se simulacemi na téma gravitační pole:
http://web.gfxs.cz/gpole/
Odkaz na tabulku s únikovými rychlostmi z různých planet:
http://cs.wikipedia.org/wiki/%C3%9Anikov%C3%A1_rychlost
