Teorie:
Rovnoměrný pohyb po kružnici přímo souvisí s harmonickým pohybem. Kdybychom se ze strany podívali na bod, který se pohybuje po kružnici, uviděli bychom harmonický pohyb.
Harmonický pohyb
Kmitavý pohyb, jehož časový diagram má podobu sinusoidy, popř. kosinusoidy, nazýváme jednoduchý kmitavý pohyb nebo harmonický pohyb.
Harmonický pohyb dostaneme jako projekci rovnoměrného kruhového pohybu kolem počátku do jedné z kartézských os. Např. v ose y pak máme
kde y je okamžitá výchylka kmitajícího bodu, A je amplituda – největší výchylka hmotného bodu z rovnovážné polohy, ωt+φ0 je fáze kmitání, φ0 je počáteční fáze, tj. fáze kmitání při t = 0.
Veličinu ω, která má u pohybu rovnoměrného po kružnici význam úhlové rychlosti, nazýváme u kmitavých dějů úhlová frekvence. Je definována vztahem
Jednotka úhlové frekvence [ω] = s-1.
Hmotný bod vykoná při rovnoměrném pohybu po kružnici jeden oběh za dobu T. Kmitající bod vykoná za tuto dobu jeden kmit a veličinu T nazýváme doba kmitu neboli perioda
Počet kmitů, které vykoná kmitající bod za jednu sekundu, je frekvence neboli kmitočet
Jednotka frekvence je hertz (Hz).
Souřadnice vektorů rychlosti a zrychlení při harmonickém pohybu jsou
Zrychlení harmonického kmitavého pohybu je přímo úměrné okamžité výchylce a v každém okamžiku má opačný směr.
Tento aplet vám pomůže pochopit souvislosti mezi rovnoměrným pohybem po kružnici a harmonickým pohybem.
Aplet aktivujete kliknutím levého tlačítka myši do okna apletu.
Klikněte na tlačítko Spustit pro spuštění animace.
Klikněte na tlačítko Zastavit pro zastavení animace a opětovné nastavení původních hodnot.
V horní části apletu se načítá doba běhu animace.
Červená orientovaná úsečka na kružnici odpovídá vektoru rychlosti hmotného bodu při rovnoměrném pohybu po kružnici.
Žlutá orientovaná úsečka je x-ová složka vektoru rychlosti hmotného bodu při rovnoměrném pohybu po kružnici a také odpovídá vektoru rychlosti hmotného bodu při harmonickém pohybu – žlutá pružina.
Modrá orientovaná úsečka je y-ová složka vektoru rychlosti hmotného bodu při rovnoměrném pohybu po kružnici a také odpovídá vektoru rychlosti hmotného bodu při harmonickém pohybu – modrá pružina.
V pravé části animace se vykresluje časový diagram kmitavého pohybu hmotného bodu na modré pružině, který znázorňuje závislost výchylky hmotného bodu na čase. Je reprezentován funkcí y = A sin(ωt). Červená orientovaná úsečka v tomto časovém diagramu odpovídá vektoru rychlosti hmotného bodu při harmonickém pohybu. Tato červená orientovaná úsečka je ekvivalentní s modrou orientovanou úsečkou na kružnici.
Když kliknete na levé tlačítko myši v tmavě šedém proužku u okraje kruhu a táhnete myší nalevo nebo napravo, můžete kruh měnit v elipsu, kterou bude opisovat hmotný bod reprezentovaný černou tečkou. Kružnice je zvláštní případ elipsy, když je a = b = r. Kružnice se dá promítnout do úsečky, a tak rovnoměrný pohyb po kružnici přejde na harmonický pohyb.
V levé horní části okna se vypisuje rovnice elipsy s dosazenými souřadnicemi:
kde a značí amplitudu výchylky hmotného bodu při harmonickém pohybu na žluté pružině,
x popisuje okamžitou x-ovou souřadnici hmotného bodu při pohybu po elipse, a tedy odpovídá okamžité výchylce hmotného bodu při harmonickém pohybu na žluté pružině,
b značí amplitudu výchylky hmotného bodu při harmonickém pohybu na modré pružině,
y popisuje okamžitou y-ovou souřadnici hmotného bodu při pohybu po elipse, a tedy odpovídá okamžité výchylce hmotného bodu při harmonickém pohybu na modré pružině.
Animaci pozastavíte kliknutím na pravé tlačítko myši.
Pokud kliknete ještě jednou, animace bude znovu pokračovat.
Kliknutím na levé tlačítko myši animaci také pozastavíte.
Animace bude pokračovat, když je uvolníte.
Kliknutím na pravé tlačítko myši a pak opětovným klikáním na levé tlačítko myši uvidíte jednotlivé kroky animace.
Odkazy:
http://www.sweb.cz/radek.jandora/f01.htm
– rovnoměrný pohyb po kružnici
http://www.sweb.cz/radek.jandora/f10.htm
- kmitavý pohyb
Odkazy na jiné aplety:
http://fyzweb.cuni.cz/dilna/aplety/springForce/index.html
- aplet na téma dynamika harmonického pohybu
http://fyzweb.cuni.cz/dilna/aplety/FreeRolling/index.html
- aplet na téma rovnoměrný pohyb po kružnici a valení bez prokluzování